Plus petit carré multiple de 7 875 - Corrigé

Énoncé

Déterminer le plus petit nombre entier naturel \(n\) non nul tel que \(7\,875n\) soit un carré parfait.

Solution

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}7\,875&3\\ 2\,625&3\\ 875&5\\ 175&5\\ 35&5\\ 7&7\\ 1\end{array}\end{align*}\)  
donc \(7\,875=3^2 \times 5^3 \times 7=(3 \times 5)^2 \times 5 \times 7\) n'est pas un carré.

Pour obtenir le plus petit carré non nul multiple de \(7\,875\) , il suffit d'ajouter les facteurs manquants dans la décomposition de \(7\,875\) en produit de facteurs premiers afin que toutes les puissances soient paires.

En conclusion, le plus entier naturel \(n\) non nul tel que \(7\,875n\) soit un carré parfait est  \(n=5 \times 7=35\) .