Plus petit carré multiple de 7 875 - Corrigé

Énoncé

Déterminer le plus petit nombre entier naturel $n$ non nul tel que $7875n$ soit un carré parfait.

Solution

On a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}7875& 3\\ 2625& 3\\ 875& 5\\ 175& 5\\ 35& 5\\ 7& 7\\ 1\end{array}\end{array}$  
donc $7875=3^2\times 5^3\times 7=(3\times 5{)}^2\times 5\times 7$ n'est pas un carré.

Pour obtenir le plus petit carré non nul multiple de $7875$ , il suffit d'ajouter les facteurs manquants dans la décomposition de $7875$ en produit de facteurs premiers afin que toutes les puissances soient paires.

En conclusion, le plus entier naturel $n$ non nul tel que $7875n$ soit un carré parfait est  $n=5\times 7=35$ .